Droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés

Dans un repère, soit \(\text{A}_1\), \(\text{A}_2\), ... , \(\text{A}_n\) les \(n\) points du nuage de points d'une série statistique et \(\text{M}_1\), \(\text{M}_2\), ... , \(\text{M}_n\) \(n\) points alignés tels que, quel que soit \(i\) entier naturel, \(x_{\text{A}_i}=x_{\text{M}_i}\). Autrement dit, le point \(\text{M}_1\) est de même abscisse que \(\text{A}_1\), \(\text{M}_2\) est de même abscisse que \(\text{A}_2\), et ainsi de suite.

Propriété Méthode des moindres carrés

Les points \(\text{M}_1\), \(\text{M}_2\), ... , \(\text{M}_n\) appartiennent à la droite d'ajustement de la série statistique lorsque la somme des écarts au carré 
\(\boxed {(\text{A}_1\text{M}_1)^2 + (\text{A}_2\text{M}_2)^2 +(\text{A}_3\text{M}_3)^2 + (\text{A}_4\text{M}_4)^2 + (\text{A}_5\text{M}_5)^2 + ... + (\text{A}_n\text{M}_n)^2}\)
est minimale.

La figure suivante illustre la droite d'ajustement d'une série statistique en mettant en évidence les écarts entre les points du nuage et la droite d'ajustement.

Remarque

Si on note \((x_i~;y_i)\) les coordonnées des \(n\) points d'un nuage, la méthode des moindres carrés consiste à rechercher les réels \(a\) et \(b\) tels que la droite d'équation \(y=ax+b\) est la droite d'ajustement de la série statistique. Cela se réalise lorsque l'expression suivante est minimale : 

 \(\boxed {(y_1-(ax_1+b))^2 + (y_2-(ax_2+b))^2 + ... + (y_n-(ax_n+b))^2}\).

Théorème (admis)

Il existe une unique droite qui rend cette somme minimale.